로또 6/45, 수학적 분석: 1등 확률·조합, 분산·기대값, 그리고 오해들

조합의 원리와 1등 확률

• 전체 경우의 수
  45개 중 6개를 순서 없이 고르는 조합 수
  경우의 수 = 45C6 = (45 곱하기 44 곱하기 43 곱하기 42 곱하기 41 곱하기 40) 나누기 (6 곱하기 5 곱하기 4 곱하기 3 곱하기 2 곱하기 1) = 8,145,060
• 1등 확률
  내가 고른 6개가 당첨 조합과 정확히 일치할 확률
  확률 = 1 나누기 8,145,060
• 독립성
  각 회차는 서로 영향을 주지 않습니다. 지난 회차에 어떤 번호가 나왔는지는 다음 회차와 무관합니다. (도박사의 오류에 주의)

등수별 당첨 확률(보너스 규칙 반영)

아래는 6개 당첨 번호와 보너스 1개가 뽑혔다고 할 때, 내 조합이 해당 조건을 만족하는 6개 집합의 개수를 세서 전체 경우의 수로 나눈 값입니다.

1. 1등(6개 일치)
   가짓수 = 1
   확률 = 1 나누기 8,145,060
2. 2등(5개 일치 + 보너스 포함)
   가짓수 = 6C5 = 6
   확률 = 6 나누기 8,145,060
   대략 1 나누기 1,357,510
3. 3등(5개 일치, 보너스 미포함)
   가짓수 = 6C5 곱하기 38 = 6 곱하기 38 = 228
   확률 = 228 나누기 8,145,060
   대략 1 나누기 35,725
4. 4등(4개 일치)
   가짓수 = 6C4 곱하기 39C2 = 15 곱하기 741 = 11,115
   확률 = 11,115 나누기 8,145,060
   대략 1 나누기 733
5. 5등(3개 일치)
   가짓수 = 6C3 곱하기 39C3 = 20 곱하기 9,139 = 182,780
   확률 = 182,780 나누기 8,145,060
   대략 1 나누기 44.6

• 아무 등수나 1번이라도 당첨될 확률(최소 5등 이상)
  위 확률들을 모두 더하면 대략 0.0238(퍼센트로는 약 2.38 퍼센트)

기대값(기댓값)의 현실

• 로또 한 장 가격을 1,000원으로 두고, 판매액의 절반 정도가 당첨금 풀로 간다고 가정하면, 이론적 평균 기대값은 약 500원 내외입니다.
  회차별 누적·당첨자 수에 따라 변동하지만, 장기적으로는 구매 금액 대비 약 절반 수준으로 수렴합니다.
• 고정 당첨금 항목만으로 보는 하한선 감각
  4등 기대값 기여분 = 50,000원 곱하기 11,115 나누기 8,145,060 약 68원
  5등 기대값 기여분 = 5,000원 곱하기 182,780 나누기 8,145,060 약 112원
  합계 약 180원 + 상위 등수 몫(회차별 변동) ≈ 총합 평균적으로 500원 안팎
• 결론
  여러 전략을 써도 평균 수익률은 음수입니다. 재미와 엔터테인먼트로 접근하시되, 예산 한도를 정하는 것이 합리적입니다.

여러 장 구매 시 확률, 기대값, 분산

• n장을 사면
  기대값 = n 곱하기(한 장의 기대값)
  분산 = n 곱하기(한 장의 분산) → 많이 살수록 결과의 흩어짐도 커집니다.
• 예시: 한 장이 5등 이상 당첨될 확률을 p 라고 하면 p는 대략 0.0238
  10장 구매 시, 최소 한 번이라도 5등 이상 당첨될 확률은
  1 마이너스 (1 마이너스 p)의 10제곱
  1 마이너스 (1 마이너스 0.0238)의 10제곱 ≈ 0.213
  즉 약 21.3 퍼센트
• 평균 수익률은 그대로이므로 대량 구매가 기대값을 유리하게 만들지 않습니다.
  단지 당첨 유무의 변동성만 키웁니다.

“패턴”과 “최근에 안 나온 번호”는 통하지 않나요?

• 모든 조합은 동일 확률입니다.
  자주 나온 번호, 덜 나온 번호라는 통계는 흥미로운 사후 관찰일 뿐, 미래 확률을 바꾸지 않습니다(독립사건).
• 현실적인 소소한 팁
  어차피 확률은 같으니, 당첨 시 분배 리스크를 줄이려면 생일·연속수·격자무늬 같은 대중적 선택 패턴을 피하기도 합니다.
  확률을 올리지는 못하지만, 동일 1등 당첨 시 나눠가질 가능성을 조금 줄이는 효과는 있습니다.

300x250

손으로 따라 하는 계산 예시

• 45C6 직접 계산
  분자 = 45 곱하기 44 곱하기 43 곱하기 42 곱하기 41 곱하기 40
  분모 = 6 곱하기 5 곱하기 4 곱하기 3 곱하기 2 곱하기 1
  값 = 8,145,060
• 3등 확률 예시
  경우의 수 = (6C5) 곱하기 38 = 6 곱하기 38 = 228
  확률 = 228 나누기 8,145,060 (대략 1 나누기 35,725)

간단 파이썬 예시 코드(원리 검증용)

import math

total = math.comb(45, 6)

p1 = 1 / total
p2 = math.comb(6, 5) / total
p3 = (math.comb(6, 5) * 38) / total
p4 = (math.comb(6, 4) * math.comb(39, 2)) / total
p5 = (math.comb(6, 3) * math.comb(39, 3)) / total

p_any = p1 + p2 + p3 + p4 + p5

print("총 경우의 수:", total)
print("1등 확률:", p1)
print("2등 확률:", p2)
print("3등 확률:", p3)
print("4등 확률:", p4)
print("5등 확률:", p5)
print("아무 등수 이상 확률:", p_any)

# 기대값 대략 계산(고정 당첨금 포함, 상위 등수는 평균 500원 수렴 개념 참고)
ev_4 = 50000 * p4
ev_5 = 5000 * p5
ev_lower = ev_4 + ev_5
print("4,5등 합산 기대값(원):", round(ev_lower, 1))

• 실행하면 위에서 설명한 값들과 크게 다르지 않은 수치가 출력됩니다.

책임 있는 플레이 체크리스트

1. 예산 한도 정하기
   매주 얼마까지, 총 얼마까지 등 상한선을 먼저 정한 뒤 구매합니다.
2. 손실을 기본값으로 인지
   평균적으로 티켓당 약 절반 손실이라는 점을 전제로 접근합니다.
3. 패턴 맹신 금지
   최근에 안 나온 번호, 특정 규칙 등은 미래 확률에 영향을 주지 않습니다.
4. 공동구매와 분배 리스크
   당첨 시 분배가 어떻게 이뤄지는지 명확히 합의하고 기록해 둡니다.

핵심 요약

• 1등 확률 = 1 나누기 8,145,060
• 모든 조합의 당첨 가능성은 동일, 회차 간 독립
• 기대값은 장기적으로 티켓당 약 500원 내외(판매 구조상)
• 여러 장을 사면 확률과 분산이 모두 선형 증가하지만, 수익률은 그대로
• 패턴·최근 출현 빈도는 당첨 확률을 바꾸지 않음
• 재미로, 예산을 정해, 보안 위험을 피하면서 즐기기!